En este artículo, aprenderemos sobre varias respuestas de filtro. Una respuesta de filtro le ayuda a comprender la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida de un filtro. Es necesario estar atento a las respuestas de los filtros para analizar su comportamiento. Para tener una mejor comprensión de la señal procesada, es importante analizar esta señal y los cambios resultantes producidos por el sistema.
En electrónica, el análisis de señales se realiza comprendiendo el comportamiento de la señal en el dominio del tiempo y la frecuencia. En este artículo, veremos las importantes respuestas de señal producidas por los dos dominios: Tiempo y Frecuencia.
Respuesta en el dominio del tiempo
Una perturbación o cambio repentino en una señal de entrada desde su estado estable se denomina transitorio. Existen métodos para estudiar la respuesta en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia del filtro de hardware. La respuesta en el dominio del tiempo del filtro de hardware se analiza en condiciones transitorias.
Figura 1: Dominio del tiempo vs. Dominio de la frecuencia
Se utilizan dos técnicas para moverse entre el dominio del tiempo y la respuesta del filtro en el dominio de la frecuencia: la transformada de Fourier y la transformada de Laplace. Para aplicar estas dos técnicas, se genera una función matemática que modela teóricamente la salida de cualquier sistema en todas las entradas posibles. Esto se llama función de transferencia, que es la relación entre el tiempo de respuesta de salida y entrada. La respuesta al impulso de un filtro se puede utilizar para definir su ancho de banda. La respuesta en el dominio del tiempo es una consideración práctica en los sistemas de comunicación, donde diferentes esquemas de modulación utilizan información de amplitud y fase.
- respuesta impulsiva
Un pulso infinitamente estrecho con un área unitaria infinitamente alta (área pequeña de gran amplitud) se define como respuesta al impulso. Físicamente es imposible percibir la respuesta al impulso. Si el filtro tiene un ancho de impulso menor que el tiempo de subida del filtro (el filtro comienza a filtrar), la respuesta del filtro será la respuesta al impulso real.
La respuesta al impulso del filtro en el dominio del tiempo es proporcional al ancho de banda del filtro en el dominio de la frecuencia. Cuanto más estrecho sea el empuje, mayor será el ancho de banda de un filtro. La amplitud del pulso se puede escribir como ù c /ð, que es proporcional al ancho de banda del filtro. La altura aumenta con anchos de banda más amplios. El ancho del pulso se puede escribir como 2ð/ù c, que es inversamente proporcional al ancho de banda de un filtro. El producto de la amplitud y el ancho de banda se vuelve constante.
No es fácil calcular la respuesta del filtro sin utilizar las transformadas de Fourier y Laplace. La transformada de Laplace convierte la multiplicación en suma y la división en resta, transformándolas en ecuaciones algebraicas simples y más fáciles de manejar. La transformada de Fourier actúa en dirección opuesta a la transformada de Laplace.
Como se indicó, la respuesta al impulso está directamente relacionada con el ancho de banda del filtro. Por tanto, la discriminación de amplitud (capacidad de distinguir entre la señal deseada y el ruido) y el tiempo son inversamente proporcionales. Por eso se dice que los filtros con mejor respuesta de amplitud tienen la peor respuesta de tiempo. En diseño técnico, existen tipos de filtros como los filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel. Cada filtro tiene sus propias características de diseño únicas. El filtro Chebyshev proporciona una mejor discriminación de amplitud que Butterworth, y Butterworth proporciona una mejor discriminación de amplitud que el filtro de Bessel. Los filtros Bessel son mejores en el dominio del tiempo. La clasificación en el dominio del tiempo se puede dar como: Bessel seguido de Butterworth y luego Chebyshev.
Aumentar el orden de los filtros aumenta la respuesta al impulso pero da como resultado una mayor limitación del ancho de banda, lo que degrada el tiempo de respuesta. Degradar el tiempo de respuesta significa aumentar la discriminación de frecuencia y el factor de calidad de la sección individual, lo que implica un mayor tiempo de respuesta.
- Respuesta al paso
La integral de la respuesta al impulso de un filtro se llama respuesta al escalón. La respuesta escalonada es útil en la respuesta en el dominio del tiempo porque contiene la información de una señal en una vista reconocible. La mayoría de las generalidades aplicadas a la respuesta al impulso se pueden utilizar para la respuesta al escalón. La pendiente del tiempo de subida de la respuesta escalonada es igual a la respuesta máxima de la respuesta al impulso, y el producto del tiempo de subida y el ancho de banda es constante. La respuesta al impulso tiene una función de unidad, así como la respuesta al escalón también tiene 1/s. Ambas expresiones no tienen dimensiones y, por tanto, pueden normalizarse.
La respuesta escalonada de un filtro se utiliza para determinar la distorsión envolvente (variaciones en la tasa de cambio de fase a través de la frecuencia) de una señal modulada. El exceso (cuando una señal cruza su área limitada) y el timbre son los dos parámetros más importantes de la respuesta escalonada de un filtro. En una respuesta de pulso excelente, el exceso debe ser mínimo. El timbre debe disminuir lo más rápido posible para no perturbar los pulsos posteriores.
Fig. 2: Sobreimpulso y timbre de señal
Las señales de comunicación de la vida real no están formadas por respuestas escalonadas o impulsivas, por lo que no es posible obtener una estimación de salida completa y precisa utilizando curvas de respuesta transitoria. Existen varios programas de software CAD (diseño asistido por computadora) que pueden realizar cálculos matemáticos de impulso y respuesta escalonada.
Respuesta en el dominio de la frecuencia
La respuesta en el dominio de la frecuencia es la medición cuantitativa de la fase y la amplitud de la salida en función de la frecuencia de entrada.
Existen funciones de transferencia que pueden satisfacer los requisitos de atenuación y fase de un filtro. La función de transferencia puede determinar la importancia de FDR (respuesta en el dominio de la frecuencia) versus TDR (respuesta en el dominio del tiempo).
- Respuesta del filtro Butterworth
Un filtro Butterworth tiene la respuesta de frecuencia más suave en la banda de paso del filtro. También tiene una ecuación de función de transferencia muy simple. Es relativamente sencillo calcular el coeficiente de polinomios, debido a la sencilla ecuación de la función de transferencia.
Figura 3: Respuesta del filtro Butterworth
La mejor conciliación entre la respuesta de fase y la atenuación es el filtro Butterworth. No tiene ondulación en la banda de parada ni en la banda de paso, por lo que a veces se le llama filtro máximamente plano. Un filtro Butterworth logra su planicidad mediante una transición amplia desde la banda de paso a la banda final, con características transitorias calculadas.
En el plano S, el polo normalizado del filtro Butterworth está en el círculo unitario. Y las poles son:
-sin ( (2k-1) ð / 2n ) + j cos ( (2k-1) ð / 2n )k=1.2….n
Donde k – número de pares de polos, n – número de polos
En el círculo unitario, los polos están espaciados equidistantemente, lo que significa que hay ángulos iguales entre los polos.
u 0 y Q se pueden calcular a partir de las ubicaciones de los polos dadas. Los valores de los componentes pueden entonces determinarse mediante los valores de un filtro. Los filtros normalizados de frecuencia e impedancia utilizados para filtros pasivos están normalizados a una impedancia de 1 Ω y una frecuencia de 1 rad/s. Esto permite comparar la respuesta en el dominio de la frecuencia y en el dominio del tiempo de los filtros en pie de igualdad. La normalización del filtro Butterworth es la respuesta de -3 dB en ù 0 =1.
Los valores de los elementos filtrantes de Butterworth son más prácticos y menos críticos que otros filtros.
- Respuesta del filtro Chebyshev
Un filtro Chebyshev tiene una transición muy marcada desde la banda de paso a la banda final de un filtro. Dependiendo del tipo de filtro Chebyshev utilizado, esta transición brusca provoca ondulaciones en la banda de paso y la banda final.
Figura 4: Respuesta del filtro Chebyshev
Este filtro tiene una región de transición más pequeña que el filtro Butterworth para el filtro del mismo orden, pero tiene ondulaciones en la banda de paso. El criterio de Chebyshev tiene ondulaciones máximas en la banda de paso y el filtro de Chebyshev minimiza la altura de la ondulación máxima del criterio de Chebyshev.
En CC, estos filtros tienen una atenuación relativa de 0 dB. El número de ciclos de ondulación en la banda de paso es igual al orden del filtro. Esto se extiende desde 0 hasta el valor máximo de ondulación de orden impar; Los filtros de orden par tienen una ganancia igual a la ondulación de la banda de paso.
Mover los polos del filtro Butterworth (formando una elipse) puede determinar los polos del filtro Chebyshev. Esto se puede hacer multiplicando la parte imaginaria por k 1 y la parte real del polo por k R .
Y estos valores se pueden determinar mediante:
K R = sinh A
K 1 = cosh A
Dónde:
A = (1/n)sinh -1 (1/Ꜫ)
donde n-orden del filtro y
Ꜫ = cuadrado(10 R -1)
Dónde:
R = R dB /10
Dónde:
R dB – ondulación de la banda de paso
El ancho de banda de 3 dB del filtro Chebyshev viene dado por:
A 3dB = (1/n) cosh -1 (1/Ꜫ)
- Respuesta del filtro Bessel
El filtro Bessel tiene una respuesta de fase lineal en la banda de paso. Debido a esta linealidad, todas las frecuencias de la señal se retrasan la misma cantidad de tiempo, lo que lo hace ideal para aplicaciones de control y procesamiento de imágenes. Este filtro debe ser de orden superior para obtener la misma transición de banda de paso a banda de parada que Chebyshev o Butterworth.
La siguiente figura muestra la comparación entre las respuestas de los tres filtros.
Figura 5: Comparación entre los filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel.
Un filtro Butterworth tiene un buen comportamiento transitorio con una amplitud bastante buena, mientras que los filtros Chebyshev mejoran la respuesta de amplitud al sacrificar el comportamiento transitorio. Pero la mejor respuesta transitoria la optimiza el filtro Bessel debido a la fase lineal en la banda de paso, lo que significa una peor respuesta de frecuencia.
Los polos del filtro de Bessel están en un círculo como el filtro de Butterworth, pero están espaciados a distancias aproximadamente iguales, a diferencia de los relacionados con el eje real, en lugar de distancias angulares iguales. La ubicación real e imaginaria de los polos del filtro Bessel se muestra en la siguiente figura.
Fig. 6: Ubicación de los polos real e imaginario del filtro Bessel
Para implicar la respuesta en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia o para cambiar entre ellos, se genera una ecuación de filtro matemática, lo cual se realiza mediante la función de transferencia. Por tanto, es necesario comprender algunas funciones y propiedades básicas de una función de transferencia.
