En el tutorial anterior, analizamos cómo cualquier información se puede representar mediante números y cómo se puede utilizar un conjunto de números (sistemas de código) para almacenar y manipular información. Gran parte de la información del mundo real es de naturaleza matemática, como contar cosas, medir cantidades, etc. Esta información también puede tener relaciones matemáticas. Para que una computadora (circuito digital) pueda realizar cálculos (operaciones matemáticas) con dicha información, primero debe ser capaz de realizar operaciones aritméticas. Las operaciones aritméticas son las operaciones matemáticas básicas. Sólo realizando operaciones aritméticas se pueden realizar otras operaciones algebraicas con datos numéricos.
Los circuitos digitales sólo entienden y manipulan números binarios. Por lo tanto, las operaciones aritméticas se pueden realizar con datos sólo en forma binaria. Los circuitos digitales implementan diversas operaciones aritméticas (aritmética binaria) con la ayuda de puertas lógicas. El circuito electrónico de un sumador binario (construido por puertas lógicas) con registros de desplazamiento adecuados puede realizar todas las operaciones aritméticas. Antes de comprender cómo se pueden construir circuitos digitales capaces de realizar operaciones matemáticas utilizando puertas lógicas, es importante comprender cómo se realizan diversas operaciones aritméticas en forma binaria. Entonces, aprendamos los conceptos básicos del álgebra booleana.
Fig. 1: Imagen representacional de operaciones aritméticas binarias
Cualquier número binario consta de 0 y 1. Un número binario se forma colocando 0 y 1 en diferentes pesos posicionales en el número. Las operaciones aritméticas como la suma, resta, multiplicación y división de números binarios siguen las reglas que se resumen en la siguiente tabla:
Fig. 2: Tabla que enumera operaciones aritméticas binarias
Suma binaria
La suma de dos números binarios se realiza de la misma forma que para los números decimales. La suma se realiza partiendo de los bits menos significativos y continúa hasta los bits más significativos, sumando cada vez el acarreo resultante de la suma anterior. Por ejemplo, la suma de números binarios (1010)2 y (1111)2 se realiza de la siguiente manera:
Fig. 3: Tabla que muestra la suma binaria
1) Se suman los bits menos significativos, es decir, 0 + 1 = 1 con acarreo 0. La suma realizada anteriormente implica los siguientes pasos:
2) El acarreo del paso anterior se suma a los siguientes bits significativos más altos, es decir, 1 + 1 + 0 = 0 con un acarreo de 1.
3) El acarreo en el paso anterior se suma a los siguientes bits significativos más altos, es decir, 0 + 1 + 1 = 0 con un acarreo de 1.
4) El acarreo anterior se suma a los bits más significativos, es decir, 1 + 1 + 1 = 1 con un acarreo 1.
Entonces la suma es (11001)2. La suma también se muestra en el sistema numérico decimal para comparar resultados. Se puede ver que ya sea que los números se sumen en forma decimal o binaria, el resultado final siempre es equivalente.
Resta binaria
Así como se hace la resta de números decimales, de la misma manera se hace la resta de números binarios. La resta se realiza comenzando desde los bits menos significativos y continúa hasta los bits más significativos. Por ejemplo, considere restar (1101)2 por (1001)2 de la siguiente manera:
1) Los LSB en la primera columna son 1 y 1. Por lo tanto, la diferencia 1 – 1 = 0.
2) En la segunda columna, la resta se realiza como 0 – 0 = 0.
3) En la tercera columna, la diferencia viene dada por 1 – 0 = 1.
4) En la cuarta columna (MSB), la diferencia viene dada por 1 – 1 = 0.
Por tanto, la diferencia entre los dos números binarios es (0100)2.
Cuando se resta 1 de 0, el 1 se toma prestado del siguiente bit significativo superior. La resta binaria con caso de préstamo se muestra a continuación:
1) Los bits menos significativos de la primera columna son 1 y 1. Por tanto, la diferencia es 1 – 1 = 0.
2) En la segunda columna no es posible restar 1 de 0. Por lo tanto, se debe tomar prestado un 1 del siguiente MSB ( tercer fragmento 3). Bit dado que el tercer bit también es 0, el préstamo debe realizarse en MSB ( cuarto bit). Tomar prestado 1 del cuarto bit da como resultado 1 y 10 con un peso de 4 en la tercera columna y 0 en la cuarta columna , como se muestra arriba. Ahora, la resta se realiza como 10 – 1 = 1.
3) En la tercera columna, la diferencia viene dada por 1 – 1 = 0.
4) En la cuarta columna (MSB), la diferencia viene dada por 0 – 0 = 0.
Complementos de 1 y 2 : se puede restar un número de otro sumando el complemento del sustraendo al minuendo. La diferencia exacta se puede obtener con pequeñas manipulaciones.
resta en complemento a 1
Restar números binarios usando el método del complemento a 1 permite la resta solo mediante suma. El complemento a 1 de un número binario se puede obtener cambiando todos los unos por ceros y todos los ceros por unos. Restar un número menor de un número mayor usando el método del complemento a 1 se hace de la siguiente manera:
1) Determina el complemento a 1 del número menor.
2) Suma esto al número mayor.
3) Retire el acarreo y agréguelo al resultado. Este transporte se llama transporte final.
Por ejemplo, la resta de (1010)2 de (1111)2 usando un complemento se puede hacer de la siguiente manera:
Fig. 6: Tabla que muestra la resta en complemento a 1
1) Determinar el complemento a 1 del número mayor. Restar un número mayor de un número menor mediante el método del complemento a 1 implica los siguientes pasos:
2) Suma esto al número menor.
3) La respuesta es el complemento a 1 del resultado verdadero y tiene el signo opuesto. No hay transporte. La diferencia es un número negativo. Por ejemplo, la resta de (1111)2 de (1010)2 usando complemento se puede hacer de la siguiente manera:
Fig. 7: Tabla que muestra la resta en complemento a 1
resta en complemento a 2
El complemento a 2 de un número binario se puede obtener sumando 1 a su complemento a 1. Restar un número menor de un número mayor mediante el método del complemento a 2 implica los siguientes pasos:
1) Determina el complemento a 2 del número menor.
2) Suma esto al número mayor.
3) Omitir el transporte.
Restar un número mayor de un número menor mediante el método del complemento a 2 implica los siguientes pasos:
1) Para restar el número menor del número mayor, primero toma el complemento a 1 del número menor.
2) Suma 1 al número más pequeño al que se le dio el complemento a 1 en el paso anterior para obtener el complemento a 2.
3) Sume el número en complemento a 2 determinado en el paso anterior al número mayor dado.
4) Descartar el carry, la diferencia es el resultado obtenido con signo negativo.
Por ejemplo, la resta de (1010)2 de (1111)2 usando el complemento a 2 se realiza de la siguiente manera:
Fig. 8: Tabla que muestra la resta en complemento a 2
Multiplicación binaria
La multiplicación binaria es tan simple como la multiplicación decimal. El procedimiento es el mismo que el de la multiplicación decimal. Por ejemplo, la multiplicación de (1011)2 y (1101)2 se puede hacer de la siguiente manera:
Fig. 9: Imagen que muestra la multiplicación binaria
La multiplicación realizada anteriormente implica los siguientes pasos:
1) Se toma el bit menos significativo del multiplicador. Si el bit multiplicador es 1, el multiplicando se copia como tal, y si el bit multiplicador es 0, se coloca un 0 en todas las posiciones de los bits.
2) Se toma el siguiente bit significativo del multiplicador y se escribe el producto parcial con un desplazamiento hacia la izquierda, como en el paso 1.
3) El paso 2 se repite para todos los demás bits de mayor importancia y cada vez que se da un desplazamiento a la izquierda.
4) Cuando se tienen en cuenta todos los bits del multiplicador, se suman los términos del producto parcial, lo que da el producto real del multiplicador y el multiplicador.
División binaria
La división binaria se realiza de forma similar a la división decimal. Por ejemplo, dividir (1011)2 entre (11)2 se puede hacer de la siguiente manera:
Q = 11
11 1011R = 10
11
101
11
10
La división realizada anteriormente implica los siguientes pasos:
1) Al divisor se le resta el MSB del dividendo. Si es necesario pedir prestado, se utiliza el MSB para pedir prestado 1. Se anota la diferencia y el LSB al lado se cancela. El divisor como 1 o 0 se escribe de izquierda a derecha en el cociente.
2) Se repite el paso 1 hasta que quede un resto menor que el divisor.
3) Se anota de izquierda a derecha el cociente, que es el resultado de la división.
Así es como se pueden realizar las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división con números binarios. En el siguiente tutorial, aprenderá sobre operaciones lógicas con números binarios . Las puertas lógicas que forman circuitos digitales realizan operaciones lógicas. Las operaciones aritméticas también se realizan en circuitos digitales con la ayuda de operaciones lógicas únicamente con la ayuda de puertas lógicas y sus interconexiones en las rutas de datos.