En el tutorial anterior, se analizó la minimización de funciones booleanas a nivel de puerta. Una función booleana debe expresarse en forma estándar como suma de productos (SoP) o producto de sumas (PoS). Una vez que una función booleana en caso se minimiza a la forma SoP o PoS, se puede fabricar fácilmente como una implementación de dos niveles de puertas AND y OR. Se prefiere una implementación de dos niveles para que haya un retraso mínimo en la propagación de la señal a través de las puertas lógicas desde la entrada hasta la salida del circuito digital.
En la práctica, los circuitos digitales se construyen con puertas NAND o NOR en lugar de puertas AND u OR. Las puertas NAND y NOR son fáciles de fabricar con componentes semiconductores. Éstas son las puertas universales a partir de las cuales se pueden construir todas las demás puertas lógicas. Esta es la razón por la que todos los circuitos integrados digitales se construyen con una puerta NAND o NOR en lugar de otras puertas lógicas.
NAND como puerta universal –
NAND es una puerta universal. Todas las demás puertas lógicas se pueden construir mediante una puerta NAND. Se puede construir una puerta NOT mediante una puerta NAND de una sola entrada. Una puerta NAND de entrada única funciona igual que una puerta inversora o NOT. La puerta AND se puede implementar conectando una puerta NAND a una puerta NAND de entrada única, donde la puerta NAND de entrada única funcionará como un inversor o una puerta NOT. La puerta OR se puede implementar conectando entradas a puertas NAND de entrada única que actúan como un inversor que luego se conecta a una puerta NAND. La implementación de las puertas AND, OR y NOT con la ayuda de la puerta NAND se muestra en los siguientes diagramas de puertas lógicas:
Fig. 1: Imagen que muestra la implementación de AND, OR e Invertir con NAND Gate
Implementación de dos niveles con NAND Gate –
Para la implementación de dos niveles de una función booleana con puerta NAND, debe expresarse en forma de suma de productos. La operación AND (producto) entre variables booleanas (rutas de datos binarios) se puede implementar conectando las entradas a una puerta NAND que debe conectarse a una puerta NAND de entrada única que actúa como un inversor. La operación OR (suma) se puede implementar conectando salidas de nivel 1 a puertas NAND de entrada única que actúan como inversores que deben conectarse a una puerta NAND. Dado que el complemento a uno de una variable booleana es su forma normal, las puertas NAND de entrada única en la salida de nivel 1 y la entrada de nivel 2 en las mismas líneas se pueden eliminar. Por lo tanto, las puertas NAND pueden implementar una expresión de suma de producto mediante una implementación NAND-NAND simple.
Supongamos que una función booleana F de cuatro variables es la siguiente:
F = AB + CD
En la implementación AND-OR, su diagrama de puerta lógica será el siguiente:
Fig. 2: Imagen que muestra la implementación AND-OR de dos niveles antes de la implementación NAND-NAND
Una puerta NAND se puede mostrar como AND-Invert o Invert-OR, ya que son equivalentes. Se pueden utilizar los siguientes símbolos gráficos para la puerta NAND:
Fig. 3: Símbolos de la puerta NAND
Al reemplazar la puerta AND más OR con la puerta NAND en la implementación de la función F, se obtiene el siguiente diagrama lógico:
Fig. 4: Imagen que muestra la sustitución de puertas AND-OR por puertas NAND
Como se mencionó anteriormente, el complemento a uno de una variable booleana es su forma normal; las puertas NAND de entrada única en la salida de nivel 1 y la entrada de nivel 2 en las mismas líneas se pueden eliminar. Por lo tanto, después de eliminar un número par de inversores en la misma fila, la implementación NAND-NAND final de la función será la siguiente:
Fig. 5: Imagen que muestra la implementación NAND-NAND de dos niveles de una expresión de suma de producto
Implementación multinivel con NAND Gate –
No siempre es necesario que la estructura de activación de un circuito digital sea viable para implementarse en dos niveles. A menudo, debido a limitaciones de diseño o viabilidad de fabricación de un circuito integrado, puede ser necesario implementar el diagrama de puerta lógica de un circuito digital en tres o cuatro niveles. Aquí también hay algunas funciones booleanas como Ex-OR, que solo se pueden implementar en estructuras de puertas de 3 niveles o más. En este caso, la función booleana primero debe expresarse en términos de puertas AND, OR y NOT. Se debe dibujar un diagrama de puerta lógica con puertas AND, OR y NOT y las puertas AND, OR y NOT se deben reemplazar con sus equivalentes NAND. Ahora, se debe eliminar el número par de burbujas (que indica NO en la puerta NAND) en las mismas filas y las burbujas individuales restantes en las filas se deben reemplazar con puertas NAND de entrada única. A la izquierda está el diagrama de puerta lógica totalmente NAND del circuito digital.
NOR como puerta universal –
NOR también es una puerta universal como la puerta NAND. Todas las demás puertas lógicas también pueden construirse mediante una puerta NOR. Se puede construir una puerta NOT mediante una puerta NOR de una entrada. Una puerta NOR de entrada única funciona de la misma manera que la puerta inversora o NOT. La puerta OR se puede implementar conectando una puerta NOR a una puerta NOR de entrada única, donde la puerta NOR de entrada única funcionará como una puerta inversora o NOT. La puerta AND se puede implementar conectando entradas a puertas NOR de entrada única que actúan como un inversor que luego se conecta a una puerta NOR. La implementación de otras puertas con una puerta NOR es el doble que la implementación de otras puertas con una puerta NAND. La implementación de las puertas AND, OR y NOT con la ayuda de la puerta NOR se muestra en los siguientes diagramas de puertas lógicas:
Fig. 6: Imagen que muestra la implementación de AND, OR e Invertir con puerta NOR
Implementación de dos niveles con NOR Gate –
Para la implementación de dos niveles de una función booleana con puerta NOR, debe expresarse como producto de sumas. La implementación de la puerta NOR de las puertas AND, OR y NOT es simplemente la implementación dual de la puerta NAND. La operación OR (suma) entre variables booleanas (rutas de datos binarios) se puede implementar conectando las entradas a una puerta NOR que se conectará a una puerta NOR de entrada única que actúa como inversor. La operación AND (producto) se puede implementar conectando salidas de nivel 1 a puertas NOR de entrada única que actúan como inversores que deben conectarse a otra puerta NOR. Dado que el complemento a uno de una variable booleana es su forma normal, las puertas NOR de entrada única en la salida de nivel 1 y la entrada de nivel 2 en las mismas líneas se pueden eliminar. Por lo tanto, las puertas NOR pueden implementar una expresión de producto de suma mediante una implementación NOR-NOR simple.
Supongamos que una función booleana F de cuatro variables es la siguiente:
F = (A + B)(C + D)
En la implementación AND-OR, su diagrama de puerta lógica será el siguiente:
Fig. 7: Imagen que muestra la implementación AND-OR de dos niveles antes de la implementación NOR-NOR
Una puerta NOR se puede mostrar como OR-Invertir o Invertir-AND ya que son equivalentes. Los siguientes símbolos gráficos se pueden utilizar para la puerta NOR:
Fig. 8: Símbolos de la puerta NOR
Al reemplazar las puertas AND, OR y NOT con la puerta NOR en la implementación de la función F, se obtiene el siguiente diagrama lógico:
Fig. 9: Imagen que muestra la sustitución de puertas AND-OR por puertas NOR
Como se mencionó anteriormente, el complemento a uno de una variable booleana es su forma normal; las puertas NOR de entrada única en la salida de nivel 1 y la entrada de nivel 2 en las mismas líneas se pueden eliminar. Entonces, después de eliminar un número par de inversores en la misma línea, la implementación final NOR-NOR de la función será la siguiente:
Fig. 10: Imagen que muestra la implementación NOR-NOR de dos niveles de un producto de expresión de suma
Todas las implementaciones posibles de dos niveles y formas no degeneradas –
Considerando la implementación de dos niveles de funciones booleanas y teniendo puertas AND, OR, NAND y NOR disponibles, puede haber dieciséis combinaciones posibles para la implementación de dos niveles de una expresión booleana. Las ocho de estas combinaciones degeneran en una sola operación, por eso se llaman formas degeneradas. Las ocho formas degeneradas son las siguientes:
1) EE : Degenera en operación AND. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta AND-AND, se deducirá de la siguiente manera:
F = (AB)(CD)
=ABCD
2) E-NAND : Degenera en operación NAND. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta AND-NAND, se deducirá de la siguiente manera:
F = ((AB)(CD))'
= (AB)' + (CD)'
= A' + B' + C' + D'
= (ABCD)'
3) O O : Degenera en operación O. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta OR-OR, se deducirá de la siguiente manera:
F = (A + B) + (C + D)
= A + B + C + D
4) OR-NOR : Degenera en operación NOR. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta OR-NOR, se deducirá de la siguiente manera:
F = ((A + B) + (C + D))'
= (A + B)'(C + D)'
=A'B'C'D'
= (A+B+C+D)'
5) NAND-OU : Degenera en operación NAND. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta NAND-OR, se deducirá de la siguiente manera:
F = (AB)' + (CD)'
= A' + B' + C' + D'
= (ABCD)'
6) NAND-NOR : Degenera en operación AND. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta NAND-NOR, se deducirá de la siguiente manera:
F = ((AB)' + (CD)')'
= (A' + B' + C' + D')'
= (ABCD)
7) NOR-E : Degenera a operación NOR. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta NOR-AND, se deducirá de la siguiente manera:
F = (A + B)'(C + D)'
=A'B'C'D'
= (A+B+C+D)'
8) NOR-NAND : degenera a operación OR. Como si hubiera cuatro variables booleanas A, B, C y D conectadas en la estructura de puerta NOR-NAND, se deducirá de la siguiente manera:
F = ((A + B)'(C + D)')'
= (A + B) + (C + D)
= A + B + C + D
Las ocho formas restantes derivan la expresión de suma de productos o la expresión de suma de productos para una función booleana. Éstas se llaman formas no degeneradas. Las ocho formas no degeneradas son AND-OR, AND-NOR, OR-AND, OR-NAND, NAND-AND, NAND-NAND, NOR-OR y NOR-NOR. AND-OR es un dual de OR-AND, NAND-NAND es un dual de NOR-NOR, NOR-OR es un dual de NAND-AND mientras que OR-NAND es un dual de AND-NOR y viceversa. Las formas AND-OR y OR-AND son formas básicas de una expresión booleana. Las formas NAND-NAND y NOR-NOR son la implementación universal de cualquier función booleana. NAND-AND y AND-NOR son equivalentes y se denominan implementación AND-OR-Invert. OR-AND y NOR-OR también son equivalentes y se denominan implementación OR-AND-Invert.
Implementación AND-OR-Invertir –
Tanto NAND-AND como AND-NOR realizan la operación AND-OR-Invert. Es una operación AND-OR simple con operación invertida implementada en la salida. Supongamos que hay cuatro variables booleanas (A, B, C y D), entonces la operación NAND-AND entre ellas será la siguiente:
F = (AB)'(CD)'
= (AB+CD)'
De manera similar, la operación AND-NOR con cuatro variables booleanas – A, B, C y D se deducirá de la siguiente manera –
F = (AB+CD)'
Implementación O-Y-Invertir –
Tanto OR-NAND como NOR-OR realizan la operación OR-AND-Invert. Es una operación O-Y simple con operación invertida implementada en la salida. Supongamos que hay cuatro variables booleanas (A, B, C y D), entonces la operación OR-NAND entre ellas será la siguiente:
F = ((A + B)(C + D))'
De manera similar, la operación NOR-OR con cuatro variables booleanas – A, B, C y D se deducirá de la siguiente manera –
F = (A + B)' + (C + D)'
= ((A + B)(C + D))'
Ahora, con el conocimiento de la implementación a nivel de puerta, cualquier función booleana se puede construir con puertas lógicas universales: NAND y NOR. En el siguiente tutorial, hay una breve introducción a VHDL . VHDL es un lenguaje informático que describe el hardware de un circuito digital en forma textual. Es una herramienta de diseño basada en computadora que resulta extremadamente útil para diseñar circuitos digitales a gran escala. El diseño de circuitos pequeños se puede realizar manualmente, pero los circuitos digitales grandes requieren herramientas computacionales para su diseño. Estas herramientas no sólo facilitan el proceso de diseño sino que también reducen las posibilidades de que se produzca un diseño defectuoso.
