1. Análisis mecánico torsional
1. Forma torcida
(1) Convenio sobre símbolos de par
Fig. 1 símbolo de dirección y par
(2) Deformación torsional de una barra de sección circular.
Después de torcer un eje con una sección transversal circular, la forma y el tamaño de la sección siguen siendo los mismos y permanece plana. El radio de la sección sigue siendo el eje alrededor del cual se tuerce la sección, y cada sección solo gira en un pequeño ángulo γ entre sí.
Fig. 2 Deformación torsional de la barra de sección circular
(3) Torsión de barra de sección no circular
Fig. 3 Deformación torsional de una barra cuadrada.
Giro libre:
Cuando una barra tiene una sección transversal no circular, se deformará durante la deformación por torsión. El grado de deformación de las secciones transversales adyacentes será el mismo, lo que significa que la longitud de todas las fibras longitudinales de la barra no cambiará. En este escenario, no habrá tensión normal en la sección transversal, sólo tensión cortante.
Para obtener torsión libre, ambos extremos de la barra recta deben estar sujetos a torsión externa y la flexión de secciones adyacentes no debe restringirse externamente.
Giro restringido:
Cuando se tuerce una barra recta no uniforme, la cantidad de torsión aplicada cambia a lo largo de la barra. Si un extremo de la barra está fijo y no puede moverse, el grado de deformación de las secciones adyacentes de la barra será diferente. Además del esfuerzo cortante, también habrá un esfuerzo normal en la sección transversal de la barra.
Normalmente, el esfuerzo normal causado por la torsión restringida en una barra sólida es pequeño y puede despreciarse. Sin embargo, en el caso de barras de paredes delgadas, esta tensión normal suele ser demasiado grande para ignorarla.
2. Supuestos básicos
(1) Hipótesis del plan
Después de torcer, la sección circular permanece plana y su forma, tamaño y radio permanecen sin cambios. Las secciones giran entre sí sólo en un pequeño ángulo γ. Sin embargo, esta suposición sólo se aplica al eje de la sección circular y no al eje de las secciones no circulares.
El espaciamiento entre secciones adyacentes sigue siendo el mismo, excepto cuando τzx = τzy, lo que indica que no hay tensión normal.
σx= σy= σz= τxy=0.
El modelo de elasticidad se muestra en la Fig.
Fig.4 Modelo mecánico elástico de torsión de barra recta.
(2) Analogía de la membrana M
Prandtl señaló que la curvatura de una fina película líquida, también conocida como membrana, bajo presión uniforme es matemáticamente similar a la función de tensión en el problema de torsión de una barra recta con igual sección transversal.
Comparar la barra de torsión con la membrana puede resultar útil para resolver el problema de torsión.
En la Figura 5, hay una película uniforme estirada sobre un límite horizontal, que tiene la misma forma y tamaño que el límite de la sección transversal de una barra de torsión.
Cuando se aplica una pequeña presión uniforme a la película, cada punto de la película sufrirá una pequeña curvatura.
Si el plano donde se ubica el límite es el plano xy, la flecha se puede representar por z.
Debido a la naturaleza flexible de la película, se supone que no puede soportar momento de flexión, torsión, fuerza cortante o presión. Sólo soporta una fuerza de tracción uniforme FT, que es similar a la tensión superficial de la película líquida.
Según este análisis, el esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal de la barra de torsión, en cualquier dirección, es igual a la pendiente de la película en dirección vertical en ese punto.
Se puede observar que el esfuerzo cortante máximo en la sección transversal de la barra de torsión es igual a la pendiente máxima de la membrana. Sin embargo, cabe señalar que la dirección del esfuerzo cortante máximo es perpendicular a la dirección de la pendiente máxima.
Al hacer esta suposición, es posible determinar el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión relativo de la barra recta de sección no circular que se enumeran en la Tabla 1 a continuación.
Fig. 5 Modelo de analogía de membrana
3. Cálculo del esfuerzo cortante torsional y del ángulo de torsión.
(1) Eje circular macizo
Según los supuestos 1 y 2, las propiedades mecánicas de los materiales plásticos en corte puro cuando los materiales componentes están dentro del rango elástico:
τ= G γ，γ Es la deformación por corte;
γ=φ R/L（ γ es el ángulo de torsión relativo de dos secciones a una distancia de L;
φ es la esquina de la cara del extremo del extremo torcido, R es el radio exterior del círculo y L es el espacio entre dos secciones).
Fig. 6 Diagrama esquemático de torsión de barra con sección circular sólida
El esfuerzo cortante en ρ en la sección circular es:
Bajo la misma condición de torsión, el esfuerzo cortante (τ) en una barra de sección transversal circular es proporcional a la distancia desde el centro de la sección (ρ). Esto significa que cuanto mayor sea la distancia desde el centro, mayor será el esfuerzo cortante.
Cuando la distancia al centro es igual al radio (R) de la sección circular, el esfuerzo cortante máximo se obtiene en el borde.
El módulo de la sección de torsión (Wp) de un eje circular se puede expresar como IP/R, donde IP es el momento polar de inercia. Este valor está relacionado únicamente con las dimensiones geométricas de la sección y no con el área de la sección transversal.
El esfuerzo cortante máximo (τ máx) se puede calcular como T/WP, donde T es el par aplicado.
Para un eje macizo con sección circular, el módulo de sección de torsión (WP) es aproximadamente igual a 0,2 veces el cubo del diámetro (D).
El ángulo de torsión (φ) de una barra redonda sometida a torsión está relacionado con la rigidez torsional (GIP) de la sección circular, que refleja la capacidad del eje para resistir la deformación.
Los ángulos de torsión relativos de dos secciones a una distancia L se pueden calcular usando una fórmula de torsión.
Ángulo de giro relativo:
Condición de rigidez del eje circular:
(2) Eje circular hueco
El coeficiente de torsión de la sección del eje circular hueco es aproximadamente: WP ≈ 0.2D 3 (1-α 4 ），0< α= d/D<1.
Cuando α= 0,8, el WP es el 60% de la sección circular sólida, es decir, bajo el mismo par la resistencia disminuye un 40%, pero bajo el mismo material y longitud la diferencia de peso es 2,8 veces.
(3) Tubo cerrado de pared delgada
Un tubo redondo con un espesor de pared (a) mucho menor que su radio (R0), normalmente considerado ≤ R0/10, se conoce como tubo redondo de pared delgada. Este tipo de tubo puede tener cualquier forma y la misma sección.
Como se trata de un tubo de paredes delgadas, se supone que el esfuerzo cortante se distribuye uniformemente por todo el espesor de la pared.
