No tutorial anterior, discutimos como qualquer informação pode ser representada por números e um conjunto de números (sistemas de código) pode ser usado para armazenar e manipular informações. Muitas das informações do mundo real são de natureza matemática, como a contagem de coisas, medições de quantidades, etc. Essas informações podem ainda ter relações matemáticas. Para que um computador (circuito digital) possa realizar cálculos (operações matemáticas) sobre tais informações, ele deve primeiro ser capaz de realizar operações aritméticas. As operações aritméticas são as operações matemáticas básicas. Somente realizando operações aritméticas é que outras operações algébricas podem ser realizadas em dados numéricos.
Os circuitos digitais apenas entendem e manipulam números binários. Portanto, as operações aritméticas podem ser realizadas com dados apenas na forma binária. Os circuitos digitais implementam diversas operações aritméticas (aritmética binária) com a ajuda de portas lógicas. O circuito eletrônico de um somador binário (construído por portas lógicas) com registradores de deslocamento adequados pode realizar todas as operações aritméticas. Antes de entender como circuitos digitais capazes de realizar operações matemáticas podem ser construídos utilizando portas lógicas, é importante entender como diversas operações aritméticas são executadas na forma binária. Então, vamos aprender o básico da álgebra booleana.
Fig. 1: Imagem Representacional de Operações Aritméticas Binárias
Qualquer número binário consiste em 0 e 1. Um número binário é formado pela colocação de 0 e 1 em diferentes pesos posicionais no número. As operações aritméticas como adição, subtração, multiplicação e divisão de números binários seguem as regras resumidas na tabela abaixo –
Fig. 2: Tabela listando operações aritmáticas binárias
Adição Binária
A adição de dois números binários é feita da mesma forma que para os números decimais. A adição é realizada a partir dos bits menos significativos e prossegue para os bits mais significativos, acrescentando a cada vez o carry resultante da adição anterior. Por exemplo, a adição dos números binários (1010)2 e (1111)2 é feita da seguinte maneira –
Fig. 3: Tabela mostrando adição binária
1) Os bits menos significativos são adicionados, ou seja, 0 + 1 = 1 com carry 0.A adição realizada acima envolve as seguintes etapas –
2) O carry na etapa anterior é adicionado aos próximos bits significativos mais altos, ou seja, 1 + 1 + 0 = 0 com um carry 1.
3) O carry na etapa acima é adicionado aos próximos bits significativos mais altos, ou seja, 0 + 1 + 1 = 0 com um carry 1.
4) O carry anterior é adicionado aos bits mais significativos, ou seja, 1 + 1 + 1 = 1 com um carry 1.
Então, a soma é (11001)2. A adição também é mostrada no sistema de numeração decimal para comparar os resultados. Pode-se observar que, quer os números sejam adicionados na forma decimal ou na forma binária, o resultado final é sempre equivalente.
Subtração Binária
Assim como a subtração de números decimais é feita, da mesma forma é feita a subtração de números binários. A subtração é realizada a partir dos bits menos significativos e prossegue para os bits mais significativos. Por exemplo, considere subtrair (1101)2 por (1001)2 como segue –
1) Os LSB na primeira coluna são 1 e 1. Portanto, a diferença 1 – 1 = 0.
2) Na segunda coluna, a subtração é realizada como 0 – 0 = 0.
3) Na terceira coluna, a diferença é dada por 1 – 0 = 1.
4) Na quarta coluna (MSB), a diferença é dada por 1 – 1 = 0.
Portanto, a diferença entre os dois números binários é (0100)2.
Quando 1 é subtraído de 0, o 1 é emprestado do bit significativo imediatamente superior. A subtração binária com caso de empréstimo é mostrada abaixo –
1) Os bits menos significativos na primeira coluna são 1 e 1. Portanto, a diferença é 1 – 1 = 0.
2) Na segunda coluna não é possível subtrair 1 de 0. Portanto, um 1 deve ser emprestado do próximo MSB (3terceiro pedaço). Pouco desde o 3terceiro bit também for 0, o empréstimo deverá ser feito no MSB (4º pedaço). O empréstimo de 1 de 4º bit resulta em 1 e 10 com peso 4 no 3terceiro coluna e 0 em 4º coluna como mostrado acima. Agora, a subtração é realizada como 10 – 1 = 1.
3) Na terceira coluna, a diferença é dada por 1 – 1 = 0.
4) Na quarta coluna (MSB), a diferença é dada por 0 – 0 = 0.
Complementos de 1 e 2 – A subtração de um número de outro pode ser realizada adicionando o complemento do subtraendo ao minuendo. A diferença exata pode ser obtida com pequenas manipulações.
Subtração de complemento de 1
A subtração de números binários usando o método do complemento de 1 permite a subtração apenas por adição. O complemento de 1 de um número binário pode ser obtido alterando todos os 1s por 0s e todos os 0s por 1s. A subtração de um número menor de um número maior pelo método do complemento de 1 é feita da seguinte forma –
1) Determine o complemento de 1 do número menor.
2) Adicione isso ao número maior.
3) Remova o carry e adicione-o ao resultado. Esse transporte é chamado de transporte final.
Por exemplo, a subtração de (1010)2 de (1111)2 usando o elogio pode ser feita da seguinte forma –
Fig. 6: Tabela mostrando a subtração do complemento de 1
1) Determine o complemento de 1 do número maior.A subtração de um número maior de um menor pelo método do complemento de 1 envolve as seguintes etapas –
2) Adicione isso ao número menor.
3) A resposta é o complemento de 1 do resultado verdadeiro e tem sinal oposto. Não há transporte. A diferença é um número negativo. Por exemplo, a subtração de (1111)2 de (1010)2 usando o elogio pode ser feita da seguinte forma –
Fig. 7: Tabela mostrando a subtração do complemento de 1
Subtração de complemento de 2
O complemento de 2 de um número binário pode ser obtido adicionando 1 ao seu complemento de 1. A subtração de um número menor de um número maior pelo método do complemento de 2 envolve as seguintes etapas –
1) Determine o complemento de 2 do número menor.
2) Adicione isso ao número maior.
3) Omita o transporte.
A subtração de um número maior de um menor pelo método do complemento de 2 envolve as seguintes etapas –
1) Para subtrair o número menor do número maior, primeiro pegue o complemento de 1 do número menor.
2) Adicione 1 ao número menor que recebeu o complemento de 1 na etapa acima para obter o complemento de 2.
3) Adicione o número do complemento de 2 determinado na etapa acima ao número maior fornecido.
4) Descarte o carry, a diferença é o resultado obtido com sinal negativo.
Por exemplo, a subtração de (1010)2 de (1111)2 usando o complemento de 2 é feita da seguinte maneira –
Fig. 8: Tabela mostrando a subtração do complemento de 2
Multiplicação Binária
A multiplicação binária é tão simples quanto a multiplicação decimal. O procedimento é o mesmo da multiplicação decimal. Por exemplo, a multiplicação de (1011)2 e (1101)2 pode ser feita da seguinte forma –
Fig. 9: Imagem mostrando multiplicação binária
A multiplicação realizada acima envolve as seguintes etapas –
1) O bit menos significativo do multiplicador é obtido. Se o bit multiplicador for 1, o multiplicando é copiado como tal e, se o bit multiplicador for 0, um 0 é colocado em todas as posições dos bits.
2) O próximo bit significativo do multiplicador é obtido e o produto parcial é escrito com um deslocamento para a esquerda, como na etapa 1.
3) A etapa 2 é repetida para todos os outros bits de maior significância e cada vez que um deslocamento para a esquerda é dado.
4) Quando todos os bits do multiplicador forem levados em consideração, são somados os termos do produto parcial, que fornecem o produto real do multiplicador e do multiplicante.
Divisão Binária
A divisão binária é feita de forma semelhante à divisão decimal. Por exemplo, a divisão de (1011)2 por (11)2 pode ser feita da seguinte forma –
Q =11
11 1011 R = 10
11
101
11
10
A divisão realizada acima envolve as seguintes etapas –
1) O MSB do dividendo é subtraído do divisor. Se houver necessidade de empréstimo, o MSB é usado para emprestar 1. A diferença é anotada e o LSB próximo a ela é baixado. O divisor como 1 ou 0 é escrito da esquerda para a direita no quociente.
2) O passo 1 é repetido até que reste um resto menor que o divisor.
3) O quociente é anotado da esquerda para a direita que é o resultado da divisão.
É assim que as operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser feitas nos números binários. No próximo tutorial, aprenda sobre operações lógicas em números binários. As portas lógicas que formam os circuitos digitais realizam as operações lógicas. As operações aritméticas também são realizadas em circuitos digitais com o auxílio de operações lógicas apenas com o auxílio de portas lógicas e suas interconexões nos caminhos de dados.