Tipos de respostas de filtro

Neste artigo, aprenderemos sobre várias respostas de filtro. Uma resposta de filtro ajuda a entender a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída de um filtro. Ficar de olho nas respostas dos filtros é necessário para analisar seus comportamentos. Para ter uma melhor compreensão do sinal processado, é importante analisar esse sinal e as alterações resultantes produzidas pelo sistema.

Na eletrônica, a análise do sinal é feita através da compreensão do comportamento do sinal no domínio do tempo e da frequência. Neste artigo, veremos as importantes respostas de sinal produzidas pelos dois domínios: Tempo e Frequência.

Resposta no Domínio do Tempo
Uma perturbação ou mudança repentina em um sinal de entrada em relação ao seu estado estacionário é chamada de transiente. Existem métodos para estudar o domínio do tempo e a resposta no domínio da frequência do filtro de hardware. A resposta no domínio do tempo do filtro de hardware é analisada sob condições transitórias.

Figura 1: Domínio do tempo vs. Domínio da frequência

Duas técnicas são usadas para mover entre o domínio do tempo e a resposta do filtro no domínio da frequência – Transformada de Fourier e Transformada de Laplace. Para aplicar essas duas técnicas, é gerada uma função matemática que modela teoricamente a saída de qualquer sistema em todas as entradas possíveis. Isso é chamado de função de transferência, que é a razão entre a saída e o tempo de resposta da entrada. A resposta ao impulso de um filtro pode ser usada para definir sua largura de banda. A resposta no domínio do tempo é uma consideração prática em sistemas de comunicação, onde diferentes esquemas de modulação utilizam informações de amplitude e fase.

  1. Resposta de impulso

Um pulso infinitamente estreito com uma área de unidade infinitamente alta (pequena área de alta amplitude) é definido como uma resposta ao impulso. Fisicamente é impossível perceber a resposta ao impulso. Se o filtro tiver uma largura de impulso menor que o tempo de subida do filtro (o filtro inicia a filtragem), a resposta do filtro será a resposta de impulso real.

A resposta ao impulso do filtro no domínio do tempo é proporcional à largura de banda do filtro no domínio da frequência. O impulso mais estreito significa maior será a largura de banda de um filtro. A amplitude do pulso pode ser escrita como ùc/ð, que é proporcional à largura de banda do filtro. A altura aumenta com larguras de banda mais amplas. A largura do pulso pode ser escrita como 2ð/ùc, que é inversamente proporcional à largura de banda de um filtro. O produto da amplitude e da largura de banda torna-se uma constante.

Não é fácil calcular a resposta do filtro sem usar as transformadas de Fourier e Laplace. A transformada de Laplace converte multiplicação em adição e divisão em subtração, transformando-as em equações algébricas simples e mais fáceis de lidar. A transformada de Fourier funciona na direção oposta da transformada de Laplace.

Conforme afirmado, a resposta ao impulso está diretamente relacionada à largura de banda do filtro. Portanto, a discriminação de amplitude (capacidade de distinguir entre o sinal e o ruído desejado) e o tempo são inversamente proporcionais. É por isso que se diz que os filtros com melhor resposta em amplitude têm a pior resposta em tempo. no projeto técnico, existem tipos de filtros como filtros Butterworth, Chebyshev e Bessel. Cada filtro tem suas próprias características de design exclusivas. O filtro Chebyshev oferece melhor discriminação de amplitude do que Butterworth, e Butterworth oferece melhor discriminação de amplitude do que o filtro Bessel. Os filtros Bessel são melhores no domínio do tempo. A classificação no domínio do tempo pode ser dada como: Bessel seguido por Butterworth e depois Chebyshev.

Aumentar a ordem do filtro aumenta a resposta ao impulso, mas resulta em maior limitação de banda, degradando o tempo de resposta. A degradação do tempo de resposta significa aumentar a discriminação de frequência e o fator de qualidade da seção individual, o que implica um tempo de resposta mais longo.

  1. Resposta ao passo

A integral da resposta ao impulso de um filtro é chamada de resposta ao degrau. A resposta ao degrau é útil na resposta no domínio do tempo porque contém a informação de um sinal em uma visão reconhecível. A maioria das generalidades aplicadas à resposta ao impulso pode ser usada para a resposta ao degrau. A inclinação do tempo de subida da resposta ao degrau é igual à resposta de pico da resposta ao impulso, e o produto do tempo de subida e a largura de banda é constante. A resposta ao impulso tem uma função igual à unidade, assim como a resposta ao degrau também tem 1/s. Ambas as expressões são adimensionais e, portanto, podem ser normalizadas.

A resposta ao degrau de um filtro é usada para determinar a distorção do envelope (variações na taxa de mudança de fase ao longo da frequência) de um sinal modulado. Overshoot (quando um sinal cruza sua área limitada) e toque são os dois parâmetros mais importantes da resposta ao degrau de um filtro. Em uma resposta de pulso excelente, o overshoot deve ser mínimo. O toque deve diminuir o mais rápido possível para não perturbar os pulsos subsequentes.

Fig. 2: Overshoot e toque do sinal

Os sinais de comunicação da vida real não são feitos de respostas degrau ou impulso, portanto não é possível obter uma estimativa de saída completa e precisa usando curvas de resposta transitória. Existem vários programas de software CAD (Computer Aided Design) que podem realizar cálculos matemáticos do impulso e da resposta ao degrau.

Resposta no Domínio de Frequência
A resposta no domínio da frequência é a medição quantitativa da fase e amplitude da saída em função da frequência de entrada.

Existem funções de transferência que podem satisfazer os requisitos de atenuação e fase de um filtro. A função de transferência pode determinar a importância de FDR (resposta no domínio de frequência) versus TDR (resposta no domínio de tempo).

  1. Resposta do filtro Butterworth

Um filtro Butterworth tem a resposta de frequência mais suave na banda passante do filtro. Ele também possui uma equação de função de transferência muito simples. É relativamente simples calcular o coeficiente de polinômios, devido à fácil equação da função de transferência.

Figura 3: Resposta do filtro Butterworth

A melhor reconciliação entre resposta de fase e atenuação é o filtro Butterworth. Ele não tem ondulação na banda de parada e na banda passante, e é por isso que às vezes é chamado de filtro maximamente plano. Um filtro Butterworth atinge seu nivelamento pela ampla transição da banda passante para a banda final, com características transitórias calculadas.

No plano S, o pólo normalizado do filtro Butterworth está no círculo unitário. E as pole positions são:

-pecado ((2k-1)ð/2n) + j cos ((2k-1)ð/2n)k=1,2….n

Onde k – número do par de pólos, n – número de pólos

No círculo unitário, os pólos são espaçados equidistantes, o que significa que há ângulos iguais entre os pólos.

você0, e Q pode ser calculado pelas localizações dos pólos fornecidas. Os valores dos componentes podem então ser determinados pelos valores de um filtro. Filtros normalizados de frequência e impedância usados ​​para filtros passivos são normalizados para uma impedância de 1 Ω e frequência de 1 rad/s. Isso permite a comparação do domínio da frequência e da resposta no domínio do tempo dos filtros em pé de igualdade. A normalização do filtro Butterworth é a resposta de -3dB em ù0 =1.

Os valores dos elementos do filtro Butterworth são mais práticos e menos críticos do que outros filtros.

  1. Resposta do filtro Chebyshev

Um filtro Chebyshev tem uma transição muito acentuada da banda passante para a banda final de um filtro. Dependendo do tipo de filtro Chebyshev usado, essa transição brusca causa ondulações na banda passante e na banda final.

Figura 4: Resposta do filtro Chebyshev

Este filtro possui uma região de transição menor que o filtro Butterworth para o filtro da mesma ordem, mas possui ondulações na banda passante. O critério de Chebyshev possui ondulações máximas na banda passante, e o filtro Chebyshev minimiza a altura da ondulação máxima do critério de Chebyshev.

Em CC, esses filtros têm atenuação relativa de 0 dB. O número de ciclos de ondulação na banda passante é igual à ordem do filtro. Isso se estende de 0 ao valor máximo de ondulação de ordem ímpar; mesmo os filtros de ordem têm um ganho igual à ondulação da banda passante.

Mover os pólos do filtro Butterworth (formando uma elipse) pode determinar os pólos do filtro Chebyshev. Isso pode ser feito multiplicando a parte imaginária por k1 e a parte real do pólo por kR.

E esses valores podem ser determinados por:

KR = sinh A
K1 = cosh A

Onde:

A = (1/n)sinh-1(1/Ꜫ)

Onde n-ordem do filtro e

Ꜫ = quadrado(10R-1)

Onde:

R = RdB/10

Onde:

RdB – ondulação da banda passante

A largura de banda de 3 dB do filtro Chebyshev é dada por:

A3dB = (1/n) cosh-1(1/Ꜫ)

  1. Resposta do filtro Bessel

O filtro Bessel tem uma resposta de fase linear na banda passante. Devido a essa linearidade, todas as frequências do sinal ficam atrasadas na mesma quantidade de tempo, tornando-o ideal para processamento de imagens e aplicações de controle. Este filtro precisa ser de ordem superior para obter a mesma transição da banda passante para a banda de parada que o Chebyshev ou Butterworth.

A figura abaixo mostra a comparação entre as respostas dos três filtros.

Figura 5: Comparação entre os filtros Butterworth, Chebyshev e Bessel.

Um filtro Butterworth tem um bom comportamento transitório com amplitude bastante boa, enquanto os filtros Chebyshev melhoram a resposta de amplitude sacrificando o comportamento transitório. Mas a melhor resposta transitória é otimizada pelo filtro Bessel devido à fase linear na banda passante – isso significa resposta de frequência pior.

Os pólos do filtro de Bessel estão em um círculo como o filtro Butterworth, mas estão espaçados em distâncias aproximadamente iguais, ao contrário daqueles relacionados ao eixo real, em vez de distâncias angulares iguais. A localização real e imaginária dos pólos do filtro Bessel é apresentada na figura abaixo.

Fig. 6: Localização do pólo real e imaginário para filtro Bessel

Para implicar a resposta no domínio do tempo e no domínio da frequência ou para alternar entre eles, é gerada uma equação matemática do filtro, o que é feito pela função de transferência. Portanto, é necessário compreender algumas funções e propriedades básicas de uma função de transferência.

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